時間の次元

entry「四次元」に tkさんから commentをいただきました。嬉しいのですが、しかし、内容が私にはよくわかりませんでした。で、ちょっと Lorentz変換とか復習してみたんですが、やっぱりわかりませんでした…。orz

まず、観測者の運動と関係なく、光は t[秒]で ct[meter]進む、というのは分かります。しかし、運動の法則の時間の部分を一斉に長さに置き換えるという処理自体がどういうことを指すのかよく分かりません。

運動の第二法則の運動方程式 の tを xに置き換える、ということではない…ですよね。座標を(t, x, y, z)ではなく、(ct, x, y, z)で表すということでしょうか？

で、それはちがう、という話のそれが何を指すのかもよくわからないのですが…「空間３次元とそれとは縁もゆかりもない時間１次元」という話ではないわけですとおっしゃっていることから、そういう話を私がしているということかな、と読み返してみると……「異なる物理量だから」と、それだけを根拠にして置換や回転はできないと言ってますね。やはりその辺りを指してるのでしょうか。

Minkowski空間において、ctは、時間に c[m/s]を掛けた「時間に比例する長さ」なのか、cという定数を掛けただけの「時間」なのか、そもそも区別する意味が無いのか有るのか、私にはよく分かりません。Lorentz変換において長さと時間は密接に関係してるし、突き詰めれば、異なる物理量と単純に言うことはできなくなるような気もします。いずれにしろ、根拠とするなら本来はその辺まで突っ込まないと不十分なのかも知れません。

回転

ついでに、ちょっと元の質問を具体的に考えてみたいと思います。

まず、例に挙げられている、長さのみの三次元の空間における回転。

(x, y, z)が (1, 2, 0), (3, 4, 0), (5, 6, 0)である三点を結んだ三角形があるとします。

それらを含む二次元平面全体を y軸の周りを x→z 方向へ π/2 回転させて、

(z, y, x)が (1, 2, 0), (3, 4, 0), (5, 6, 0)である三点を結んだ三角形に移します。回転前後の二つの三角形には大した違いは無く、平面世界としては保ったままと表現してもいいかと思います。そもそも、三角形が先に有ってそこに座標系を設定する場合、x軸、y軸、z軸をどの方向に取るかは、特に条件が無ければ任意で決めて問題ないわけですから、軸の置換も問題ないわけです。

次に、長さ三つの三次元空間の、それに時間一つを足した四次元時空における回転。

(t, x, y, z)が (0, 1, 2, 0), (0, 3, 4, 0), (0, 5, 6, 0), (0, 0, 0, 7)である四点を直線と平面で結んだ四面体があるとします。

ここでは単位を設定していないので、1の長さが1の時間に相当するとします。つまり１秒間は何メートルに相当するかは単位の設定次第ということで、そこに関係なく話を進められます。

上記の例と同様、xy平面の周りを z→t 方向へ π/2 回転させて、

(z, x, y, t)が (0, 1, 2, 0), (0, 3, 4, 0), (0, 5, 6, 0), (0, 0, 0, 7)である四点に移します。しかし、ここからは上記の例と同様というわけには行きません。

まず、これらの点を結んでも、それは我々の住んでいるこの３次元の空間においては四面体とは呼べません。時間が 0 の時点で、元の四面体の z軸に垂直な面であった三角形があり、それが時間の経過にしたがって相似縮小し、時間が 7 の時点で点になるという現象を表します。

ここで長さの単位を meterとします。そして、時間の単位を秒にすると１秒間が１メートルに相当することになり、7秒で点になることを表します。時間の単位を1000秒にすると、１秒間が１ミリメートルに相当することになり、7000秒で点になることを表します。

そうすると、7秒か 7000秒かということ、１秒間は何メートルに相当するかということ以前に大きな問題が有るような気がします。数学的に回転させてはみましたが、このような回転に物理学的に意味があるのか？という点でしょうか。

質問の例では平面世界としては保ったままという条件が付けられていますが、四次元時空における三次元の回転では立体世界を保ったままとは言えないでしょう。上記の通り、四面体が三角形になってしまったりするからです。そういった処理が行われた場合、中にいる我々はなにも気がつかないままでいられるのかどうか。どうなんでしょう……よく分かりません。

私の行った回転は、ある一つの回転にしか過ぎず、他に物理学的に意味の有る回転があるのかな、とも思います。しかし、それは質問者が例で示しておられる回転とは意味が違ってしまうでしょう。そして、それはもうわかりやすく説明できるようなものじゃない気がします。